Anton Jenschik absolvierte nach Abschluss der Pflichtschule eine Lehre als Schriftsetzer in einer Druckerei. 1901 trat er dem Verein jugendlicher Arbeiter bei und wurde bereits 1903 zum Obmann des neuen landesweiten Verbandes jugendlicher Arbeiter gewählt, der sich unter seiner Leitung zu einer starken Organisation mit vierhundert Gruppen und mehr als 15.000 Mitgliedern entwickelte.

Jenschik war bis 1918 auch Redakteur des "Jugendlichen Arbeiters" und organisierte den Vertrieb sozialistischer Schriften und Bücher. Nach Ende des Ersten Weltkriegs wurde er in das Zentralsekretariat der Partei berufen und von seinem Heimatbezirk Hernals in den Gemeinderat entsandt.

Wie die meisten sozialdemokratischen Funktionäre wurde auch Jenschik nach dem Februar 1934 festgenommen und in Wöllersdorf interniert. Nach Kriegsende erhielt er bereits im April 1945 eine Vollmacht zur Übernahme der Druckerei Vorwärts und avancierte später zum Chefadministrator der wiedergegründeten Arbeiter-Zeitung.

Der Jenschikweg in Hernals wurde 1983 nach ihm benannt.