Richard Stockinger wurde in Döbling geboren und erlernte den Beruf eines Schriftsetzers. 1947 kam Stockinger zu den Roten Falken, 1948 zur Sozialistischen Jugend. Ab 1957 gehörte er dem Bezirksvorstand der SPÖ Döbling an, von 1966 bis 1974 war er Bezirkssekretär. 1966 wurde Richard Stockinger als Nachfolger des in den Nationalrat gewählten Robert Weisz Gemeinderat und Landtagsabgeordneter. Diese Funktion legte er zurück, als er 1975 zum Bezirksvorsteher Döblings gewählt wurde.

Aufgrund der geänderten Mehrheitsverhältnisse im Bezirk war Stockinger von 1978 bis 1987 Bezirksvorsteher-Stellvertreter und von 1987 bis 1991 neuerlich im Wiener Gemeinderat.