Heinrich Allina war zunächst als Versicherungsangestellter und Bankbeamter tätig und wurde wegen seines gewerkschaftlichen Engagements sogar entlassen. Bereits vor dem Ersten Weltkrieg wurde er Sekretär des Reichsvereins der Bank- und Sparkassenbeamten Österreichs und fungierte als Herausgeber und Redakteur der Verbandszeitung "Der Bankbeamte".

Nach Kriegsende war Heinrich Allina Mitglied der Konstituierenden Nationalversammlung (1919/20), von 1920 bis 1934 gehörte er dem Nationalrat als Abgeordneter an. Allina, der seit 1923 Mitglied der Gewerkschaftskommission war, wurde 1928 Vorsitzender der Sektion der Privatangestellten im Bund der Freien Gewerkschaften Österreichs und gehörte ab 1931 auch dem Bundesvorstandes der Freien Gewerkschaften an.

Im Februar 1934 kurz im Anhaltelager Wöllersdorf interniert, wurde Allina nach dem "Anschluss" Österreichs neuerlich verhaftet und nach Dachau deportiert. 1939 kam er frei und emigrierte nach London, wo er zu den Mitbegründern des "Austrian Office" gehörte, das sich im Gegensatz zur Auslandsvertretung der österreichischen Sozialisten in Paris von Anfang an für den gemeinsamen Kampf aller politischen Gruppierungen und für die Wiedererrichtung eines freien und unabhängigen Österreich einsetzte.

1940 gründete er die League of Austrian Socialdemocrats in Great Britain (Gruppe Allina) als Abspaltung der österreichischen Sozialdemokratie im Exil, die im Gegensatz zur offiziellen Parteilinie für eine Zusammenarbeit mit konservativen und legitimistischen Kräften eintrat, und gab die Zeitschrift "Der Freiheitskampf" heraus. Nach Wien kehrte Allina erst 1949 zurück.