Franz Weber erlernte den Beruf des Kraftfahrzeugmechanikers und war bereits in jungen Jahren in der Gewerkschaft tätig und seit 1930 auch politisch aktiv. Von 1948 bis 1956 war Weber Betriebsratsobmann bei Gräf & Stift, von 1956 bis 1965 Gewerkschaftssekretär. Der Döblinger Bezirksvertretung gehörte er seit 1949 an; von 1965 bis 1975 war Franz Weber Bezirksvorsteher des 19. Bezirks. Er initiierte die sogenannten "Döblinger Forumsgespräche", ein regelmäßiges Diskussionsforum für die Bezirksbewohner.

Die auf dem Areal der ehemaligen Automobilfabrik Gräf & Stift in den Jahren 1983 bis 1988 errichtete Städtische Wohnhausanlage, 19., Weinberggasse 60-78, wurde 1993 nach dem früheren Bezirksvorsteher Franz Weber-Hof benannt.