Heinz Weißmann arbeitete von 1961 bis 1972 als Starkstrommonteur bei der Siemens-AG, danach bis 1984 als technischer Angestellter beim Verband Wiener Volksbildung. Seit 1962 Mitglied der SPÖ, war Heinz Weißmann von 1968 bis 1972 Vorsitzender der Jungen Generation in der Leopoldstadt. 1972 wurde er Bezirksrat, 1978 Bezirksvorsteher-Stellvertreter und 1984 schließlich Bezirksvorsteher der Leopoldstadt.

In seine Amtszeit fielen u.a. die Fertigstellung des Hochwasserschutzes, die Errichtung des Kraftwerks Freudenau sowie das Entstehen des Erholungsgebiets am rechten Donaudamm. 1999 folgte ihm Gerhard Kubik in dieser Funktion nach.

Der 1961/62 mit 170 Wohnungen errichtete Gemeindebau Mexikoplatz 1 wurde 2017 nach dem früheren Bezirksvorsteher Heinz-Weißmann-Hof benannt.